函数与极限

1 映射与函数

邻域

一维

邻域定义：以点$x_0$为中心的任何开区间为点$x_0$的邻域，记为$U(x_0)$。

$\delta$邻域定义：设$\delta$为一正数，则称开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$为点$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0,\delta)$。$x_0$称为邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。

去心$\delta$邻域就是去除$x_0$的$\delta$邻域，记为$\mathring{U}(x_0,\delta)$，左$\delta$邻域就是左侧的去心$\delta$邻域，记为$U^+(x_0,\delta)$，右$\delta$邻域就是右侧的去心$\delta$邻域，记为$U^-(x_0,\delta)$。

二维

邻域定义：设点$P_0(x_0,y_0)$为$xOy$平面上的一点，$\delta$为某一个正数，与点$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$。

同理可以得到去心δ邻域的定义。

$\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半径的圆内部所有的点。

函数的邻域就是一个区间，所以比如函数在某点的某邻域内有定义，就是说明函数在这个点的附近有定义，这个附近的距离没有必要说明。

函数的概念

函数

1. 函数即$y=f(x),x\in D$，$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域。
2. 一个$x$对应一个$y$，一个$y$可能对应多个$x$。

反函数

$y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的反函数，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为直接函数。

1. 严格单调函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。
2. ​x=f−1(y)与y=f(x)在同一坐标系中完全重合。
3. $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。
4. $f[f^{-1}(x)]$（$f[\psi(x)]$）或$f^{-1}[f(x)]=x$（$\psi[f(x)]$）变为$x$，称为湮灭。

可以验算一下性质四。

已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。

反函数的求法：

1. 求值域。
2. 求解。（用$y$表示$x$）
3. 互换$xy$。

例题：若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。

解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。

这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。

所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。

所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。

2 数列的极限

定义

数列极限定义

设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\xi>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\xi$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。

$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\xi$。

注意到：定义中的正整数$N$是与任意给定的整数$\xi$有关的，它随着$\xi$的给定而选定。

极限证明

令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\xi$为任意正数。

1. 写出$\vert x_n-a|<\xi$。
2. 反解出项数$n<g(\xi)$。
3. 取$N=[g(\xi)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。

例题：用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$

证明：计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。

解得到：$\dfrac{1}{n}<\xi$，反解为$n>\dfrac{1}{\xi}$。

取整(存在取一个即可)：$N=\left[\dfrac{1}{\xi}\right]+1$。

$\therefore\forall\xi>0$，当$n>N$时，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。

$\therefore$证明完毕。

例题：用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。

证明：$\vert q^n-0\vert<\xi$。

$\vert q^n\vert<\xi$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\xi$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$。

（若$\xi>1$则 $n$ 大于一个负数，即是存在这个正整数n的，这样条件必然成立）

$\therefore \forall \xi \in(0,1)$ 取$N=\left[\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。

$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\xi$。

故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。

这里为什么不用证明$\xi\ge1$这种情况？是因为其判断条件$\vert q^n-0\vert<\xi$的$\xi$小于更小的数，即大于1这个数也必然成立。

数列绝对值

定理：若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。

证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\xi$。

又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\xi$。

所以恒成立，证明完毕。

从这个题推出：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。

性质

唯一性

定义：若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。

证明：设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。

不如设$A>B$。任意取$\xi=\dfrac{A-B}{2}>0$。

$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$

$\therefore\exists N_1>0$，当$n>N_1$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A-B}{2}$。

得到$\dfrac{A+B}{2}<a_n<\dfrac{3A-B}{2}$并设为式子一。

又$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$

$\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。

得到$\dfrac{3A-B}{2}<a_n<\dfrac{A+B}{2}$并设为式子二。

取$N=\max\{N_1,N_2\}$，当$n>N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。

同理$A<B$时也矛盾，所以$A\neq B$矛盾。

证明数列是发散的

令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\xi$为任意正数。

1. 取$\xi$的范围在一个区间内
2. 证明数列的所有值都在这个区间外面

有界性

定义：若数列$\{x_n\}$极限存在，则数列有界。

即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。

证明：由极限定义，取$\xi=1$。

$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$

$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<1$。

$\because\text{重要不等式}\,\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\vert a_n-A\vert$

$\therefore n>N$时，$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert<1\Rightarrow\vert a_n\vert<1+\vert A\vert$

取$M=\max\{\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_N\vert,1+\vert A\vert\}$

$\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$

所以数列极限存在则数列有界。但是数列有界不一定极限存在，如$1+(-1)^n$。

推论：收敛 $\Rightarrow$ 有界，有界 $\nRightarrow$ 收敛，无界 $\Rightarrow$发散，发散 $\nRightarrow$ 无界

保号性

较重要。也称为脱帽法。

定义：若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。

简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。

推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。

证明：设$A>0$，取$\xi=\dfrac{A}{2}>0$。

$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$

$\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarrow a_n>\dfrac{A}{2}>0$

同理得证极限值小于0的情况。

子数列

定义：从数列${a_n}:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$中选取无穷多项并按原来顺序组成的新数列就称为原数列的子列，记为$\{a_{n_k}\}:a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$。

若$n_k$分别取奇数和偶数，则得到奇数项数列与偶数项数列。也就是说子列是按照顺序下来取的数列，顺序不改变，但间隔可以改变。

定理：若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且极限值相同。

所以对于其变式我们用到更多：

1. 若一个数列$\{a_n\}$能找到一个发散的子列，那该数列发散。
2. 若一个数列$\{a_n\}$能找到两个极限值不同的收敛子列，那么这个数列发散。
3. 若一个数列$\{a_n\}$，则其奇数子列与偶数子列都收敛于同一个值。

例如对于数列$\{(-1)^n\}$，能找到其奇数子列收敛于-1，偶数子列收敛于1，所以收敛值不同，原数列发散。

3 函数的极限

函数极限定义

极限定义

定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\xi>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\xi$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。

而对于趋向无穷时：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。

注意：这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。

单侧极限

当$x\to x_0^-$存在的极限称为左极限，当$x\to x_0^+$存在的极限称为右极限。

函数极限存在条件

函数存在的充要条件是：

• $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$。
• 函数脱帽法：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。

极限情况总结

性质

与数列极限性质类似，且任何$x$的趋向三个性质都是成立的。

唯一性

定义：若极限存在，则极限唯一。

局部有界性

定义：若极限存在且为$A$，则存在正常数$M$和$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$。

• 极限存在是函数局部有界性的充分不必要条件。

• $f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。

• 有限个有界函数与有界函数的和、差、积仍是有界函数。

• 若$f'(x)$在有限区间$(a,b)$内有界，则$f(x)$在该区间内有界。

对于结论二，可以利用极限存在必然连续的概念，对$f(x)$在区间两端求极限从而证明有界。这里两端的极限不要求是一样的，因为两端不一样的极限表明该趋向点的极限值不存在，但是仍然有界。

证明结论四：

利用中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

令$x\in(a,b),x_0\in(a,b)$。其中这两个值不知道大小，只知道范围。

代入中值定理：$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$

$$\begin{aligned} \vert f(x)\vert & =\vert f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\vert \\ & \leqslant\vert f(x_0)\vert+\vert f'(\xi)\vert\vert x-x_0\vert\text{ （重要绝对值不等式）} \\ & \leqslant\vert f(x_0)\vert+K\cdot(b-a) \\ & \leqslant M \end{aligned}$$